Question

12．给出命题：若a，b是正常数，且a≠b，x，y∈（0，+∞），则$\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}≥\frac{{{{（a+b）}^2}}}{x+y}$（当且仅当$\frac{a}{x}=\frac{b}{y}$时等号成立）．根据上面命题，可以得到函数f（x）=$\frac{2}{x}+\frac{9}{1-2x}$-5（$x∈（0，\frac{1}{2}）$）的最小值及取最小值时的x值分别为（　　）

• A． 5+6$\sqrt{2}$，$\frac{2}{13}$
• B． 5+6$\sqrt{2}$，$\frac{1}{5}$
• C． 20，$\frac{1}{5}$
• D． 20，$\frac{2}{13}$

Answer 1

分析 依据题设中的条件的形式，将条件修改为f（x）=$\frac{4}{2x}$+$\frac{9}{1-2x}$-5形式，根据条件进行求解即可．

解答 解：依题意可知 $f（x）=\frac{2}{x}+\frac{9}{1-2x}$-5=$\frac{4}{2x}$+$\frac{9}{1-2x}$-5=$\frac{{2}^{2}}{2x}$+$\frac{{3}^{2}}{1-2x}$-5≥$\frac{（2+3）^{2}}{2x+1-2x}$-5=25-5=20，
当且仅当$\frac{2}{2x}$=$\frac{3}{1-2x}$时，即x=$\frac{1}{5}$时上式取等号，
最小值为20，
故选：C

点评 本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．考查了学生通过已知条件，解决问题的能力．