Question

18．已知数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n=2a_n-a₁，且a₁，a₂+1，a₃成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=2log₂a_n-1，求数列$\{\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}\}$的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用数列递推关系、等比数列与等差数列的通项公式即可得出．
（2）利用裂项求和方法即可得出．

解答 解：（1）因为S_n=2a_n-a₁，所以a_n=S_n-S_n-1（n≥2），
即a_n=2a_n-1（n≥2），即数列{a_n}是以2为公比的等比数列，
又a₁，a₂+1，a₃成等差数列，所以a₁+a₃=2（a₂+1），即a₁+4a₁=2（2a₁+1），解得a₁=2，
所以数列{a_n}的通项公式为${a_n}={2^n}$．
（2）由（1）得b_n=2log₂a_n-1=2n-1，因为$\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}=\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
所以${T_n}=\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+…+（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]=\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）=\frac{n}{2n+1}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、数列递推关系、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．