Question

3．方程$\frac{x|x|}{16}+\frac{y|y|}{9}=-1$的曲线为函数y=f（x）的图象，对于函数y=f（x），下面结论中错误的是（　　）

• A． f（0）=-3
• B． 函数y=f（x）的值域是R
• C． 函数f（x）在R上单调递减
• D． 函数F（x）=4f（x）+5x有两个相异零点

Answer 1

分析 根据y，x的符号分类整理方程，得出f（x）的函数图象，根据函数图象进行判断．

解答 解：（1）当x≥0，y≥0时，$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{9}=-1$，方程无解．
（2）当x≤0，y≥0时，$\frac{{x}^{2}}{16}-\frac{{y}^{2}}{9}=1$，
（3）当x≤0，y≤0时，$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$，
（4）当x≥0，y≤0时，$\frac{{y}^{2}}{9}-\frac{{x}^{2}}{16}=1$，
∴方程$\frac{x|x|}{16}+\frac{y|y|}{9}=-1$的曲线为函数y=f（x）的图象如图所示：

由函数图象可知：f（0）=-3，f（x）的值域为R，f（x）在R上单调递减，故A，B，C正确．
令F（x）=4f（x）+5x=0得f（x）=-$\frac{5x}{4}$，
作出y=-$\frac{5}{4}x$的函数图象，则F（x）与y=-$\frac{5x}{4}$的图象只有一公共点，
∴F（x）只有一个零点，故D错误．
故选：D．

点评 本题考查了圆锥曲线的方程，函数的图象及其意义，属于中档题．