Question

已知实数x＞0，y＞0，且x²+y²-xy=1，则x+2y的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：三角函数的求值

分析：x²+y²-xy=1，变形为(x-

y

2

)2+

3

4

y2=1，由于x＞0，y＞0，令y=

2

3

sinθ，x-

y

2

=cosθ，θ∈(0，

π

2

]．可得x+2y=

2 21

3

sin(θ+φ)，其中φ=arctan

3

5

．即可得出．

解答： 解：x²+y²-xy=1，变形为(x-

y

2

)2+

3

4

y2=1，
∵x＞0，y＞0，令y=

2

3

sinθ，x-

y

2

=cosθ，θ∈(0，

π

2

]．
则x=cosθ+

1

3

sinθ．
∴x+2y
=cosθ+

1

3

sinθ+

4

3

sinθ
=

5

3

sinθ+cosθ
=

2 21

3

(

5 7

14

sinθ+

21

14

cosθ)
=

2 21

3

sin(θ+φ)，其中φ=arctan

3

5

．
∵sin（θ+φ）∈(

21

14

，1]，
∴

2 21

3

sin(θ+φ)∈(1，

2 21

3

]．
即（x+2y）∈(1，

2 21

3

]．
故答案为：(1，

2 21

3

]．

点评：本题考查了三角变换、配方法、三角函数的单调性、两角和差的正弦公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．