Question

10．已知函数f（x）=x+$\frac{9}{x+1}$（0≤x≤3），则f（x）的值域为（　　）

• A． [5，9]
• B． [5，$\frac{21}{4}$]
• C． [$\frac{21}{4}$，9]
• D． [6，10]

Answer 1

分析 原函数变形得到$f（x）=（x+1）+\frac{9}{x+1}-1$，由基本不等式便可得出x=2时，f（x）≥5，这样便可判断f（x）在[0，3]上的单调性，从而得出f（x）在[0，3]上的最小、最大值，从而得出f（x）的值域．

解答 解：$f（x）=（x+1）+\frac{9}{x+1}-1≥5$，当且仅当$x+1=\frac{9}{x+1}$，即x=2时取“=”；
∴f（x）在[0，2]上单调递减，在[2，3]上单调递增；
又f（0）=9，f（3）=$\frac{21}{4}$；
∴f（x）在[0，3]上的最小值为5，最大值为9；
∴f（x）的值域为[5，9]．
故选A．

点评 考查基本不等式在求函数最小值中的运用，应用基本不等式注意判断等号能否取到，函数值域的概念，根据函数单调性求函数值域的方法，要熟悉函数$y=x+\frac{1}{x}$的单调性．