Question

若数列是各项均不为的等差数列，公差为，为其前项和，且满足，．数列满足，为数列的前n项和．

（1）求、和；

（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；

（3）是否存在正整数，使得成等比数列？若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）（法一）在中，令，，

得   即解得，，．

，

．

（法二）是等差数列，

．由，得 ，

又，，则．(求法同法一)

（2）①当为偶数时，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．

 ，等号在时取得．此时需满足．

②当为奇数时，要使不等式恒成立，

即需不等式恒成立．

 是随的增大而增大， 时取得最小值．

此时 需满足．综合①、②可得的取值范围是．

（3），

 若成等比数列，则，即．

（法一）由，　　可得，

即，．

又，且，所以，此时．

因此，当且仅当， 时，数列中的成等比数列．

（法二）因为，故，即，

，（以下同上）．