Question

3．设△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且asinAsinB+bcos²A=$\sqrt{2}$a，则角A的取值范围为（0，$\frac{π}{4}$]．

Answer 1

分析 利用正弦定理化简已知的等式，整理后利用同角三角函数间的基本关系化简，得到sinB=2sinA，再利用正弦定理化简得：b=2a，由余弦定理表示出cosA，整理后利用基本不等式求出cosA的范围，再由A为三角形的内角，且根据余弦函数的单调性，即可得到A的范围．

解答 解：在△ABC中，由正弦定理化简已知的等式得：sin²AsinB+sinBcos²A=$\sqrt{2}$sinA，
即sinB（sin²A+cos²A）=$\sqrt{2}$sinA，
∴sinB=$\sqrt{2}$sinA，
由正弦定理得：b=$\sqrt{2}$a，
由余弦定理得：cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{2{a}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2\sqrt{2}ac}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}}{2\sqrt{2}ac}$≥$\frac{2ac}{2\sqrt{2}ac}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵A为三角形ABC的内角，且y=cosx在（0，π）上是减函数，
∴0＜A≤$\frac{π}{4}$，
则A的取值范围是：（0，$\frac{π}{4}$]．
故答案为：（0，$\frac{π}{4}$]．

点评 此题考查了正弦、余弦定理，同角三角函数间的基本关系，基本不等式，以及余弦函数的单调性，熟练掌握定理是解本题的关键，属于基础题．