Question

12．已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长都相等，D，E分别是AB，A₁C₁的中点，如图所示．
（1）求证：DE∥平面BCC₁B₁；
（2）求DE与平面ABC所成角的正切值．

Answer 1

分析 （1）取AC的中点F，连结EF，DF，则EF∥CC₁，DF∥BC，故平面DEF∥平面BCC₁B₁，于是DE∥平面BCC₁B₁．
（2）在Rt△DEF中求出tan∠EDF．

解答 （1）证明：取AC的中点F，连结EF，DF，
∵D，E，F分别是AB，A₁C₁，AC的中点，
∴EF∥CC₁，DF∥BC，又DF∩EF=F，AC∩CC₁=C，
∴平面DEF∥平面BCC₁B₁，
又DE?平面DEF，
∴DE∥平面BCC₁B₁．
（2）解：∵EF∥CC₁，CC₁⊥平面BCC₁B₁．
∴EF⊥平面BCC₁B₁，
∴∠EDF是DE与平面ABC所成的角，
设三棱柱的棱长为1，则DF=$\frac{1}{2}$，EF=1，
∴tan∠EDF=$\frac{EF}{DF}=2$．

点评 本题考查了线面平行的判定，线面角的计算，属于中档题．