Question

如下图，正方形ABCD与ABEF不在同一平面内，M、N分别在AC、BF上，且AM＝FN

求证：MN∥平面CBE．

Answer 1

答案：
解析：

证法一：如下图，作MT∥AB交BC 　　于点T，作NH∥AB交BE于点H，连结HT， 　　∵AM＝FN， 　　又∵ABCD与ABEF为正方形， 　　∴△CMT≌△MNH． 　　∴MT＝NH． 　　∴四边形MNHT是平行四边形． 　　∴MN∥TH． 　　又∵HT平面BCE，MN平面BCE， 　　∴MN∥平面BCE． 　　证法二：如下图，连结AN并延长交BE于P点，连结CP， 　　∵BE∥AF， 　　∴AN∶NP＝FN∶NB． 　　又∵AM＝FN， 　　∴NB＝MC． 　　∴AN∶NP＝AM∶MC． 　　∴MN∥CP． 　　∵CP平面CBE，MN平面CBE， 　　∴MN∥平面CBE． 　　思路分析：要证MN∥平面CBE须找到平面BCE内与MN平行的“目标直线”． 　　温馨提示：(1)要证线面平行，即须证线线平行，即将空间问题转化为平面问题解决，这是数学上常用的化归思想． 　　(2)由直线和平面平行的判定定理可以知道，证明直线和平面平行只需要在平面内找到一条直线和这条直线平行即可．有时平面内的这条直线是图形中原来就有的，而有时图形中却没有现成的直线和这条直线平行．这时问题的关键是如何在平面内寻求一条直线和该直线平行．例1中的证法一这种构造“目标直线的方法我们形象地称为”平行光源投影法，即用一束平行于AB的光线照射MN，MN在面BCE内的投影即为目标直线．例1中的证法二这种构造“目标直线”的方法，我们形象地称之为“点光源投影法”，即将点A看作光源，MN在平面BCE内的投影即为所寻找的目标直线．