Question

14．已知f（x）=2asin（2x+$\frac{π}{6}$）+2a+b，x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，并且f（x）的最小值为-3，最大值为$\sqrt{3}$-1，求a，b的值．

Answer 1

分析 根据x的取值范围求出sin（2x+$\frac{π}{6}$）的取值范围，讨论a的取值，计算对应f（x）的最值，从而求出a、b的值．

解答 解：∵x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]时，（2x+$\frac{π}{6}$）∈[$\frac{2π}{3}$，$\frac{5π}{3}$]，
∴sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]，
∴当a≥0时，f（x）的最小值为-2a+2a+b=-3，最大值为$\sqrt{3}$a+2a+b=$\sqrt{3}$-1，
解得a=1，b=-3；
当a＜0时，f（x）的最小值为$\sqrt{3}$a+2a+b=-3，最大值为-2a+2a+b=$\sqrt{3}$-1，
解得a=-1，b=$\sqrt{3}$-1；
综上，a=1，b=-3或a=-1，b=$\sqrt{3}$-1．

点评 本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了分类讨论思想的应用问题，是基础题目．