Question

7．在极坐标系中，曲线C的方程为$ρ=4（cosθ+sinθ）-\frac{6}{ρ}$，以极点O为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系．
（1）求曲线C的参数方程；
（2）在直角坐标系中，点M（x，y）是曲线C上一动点，求x+y的最大值，并求此时点M的直角坐标．

Answer 1

分析 （1）先求出C的直角坐标方程，再求曲线C的参数方程；
（2）利用C的参数方程，结合三角函数知识，求x+y的最大值，并求此时点M的直角坐标．

解答 解：（1）由曲线C的方程为$ρ=4（cosθ+sinθ）-\frac{6}{ρ}$，得ρ²=4ρcosθ+4ρsinθ-6，
即x²+y²-4x-4y+6=0，即（x-2）²+（y-2）²=2．
即曲线C是以点为圆心（2，2），以$\sqrt{2}$为半径的圆，
则圆的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\sqrt{2}cosθ}\\{y=2+\sqrt{2}sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数）．
（2）x+y=4+$\sqrt{2}$cosθ+$\sqrt{2}$sinθ=4+2sin（θ+$\frac{π}{4}$）．
于是当θ=$\frac{π}{4}$时，（x+y）_max=4+2=6，
此时$\left\{{\begin{array}{l}{x=2+\sqrt{2}cos\frac{π}{4}=3}\\{y=2+\sqrt{2}sin\frac{π}{4}=3}\end{array}}\right.$，即M（3，3）．

点评 本题考查三种方程的互化，考查参数方程的运用，考查三角函数知识，属于中档题．