Question

17．已知集合A={x|1＜2${\;}^{{x^2}-2x-3}}$＜32}，B={x|log₂（x+3）＜3}．
（1）求（∁_RA）∩B；
（2）若（a，a+2）⊆B，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出集合A，B，得到A的补集，从而求出其和B的交集即可；
（2）根据集合的包含关系得到关于a的不等式组，解出即可．

解答 解：（1）由1＜${2^{{x^2}-2x-3}}$＜32，
得0＜x²-2x-3＜5，
即$\left\{\begin{array}{l}（x+1）（x-3）＞0\\（x+2）（x-4）＜0\end{array}\right.$，
解得A=（-2，-1）∪（3，4），
∁_RA=（-∞，-2]∪[-1，3]∪[4，+∞），
由log₂（x+3）＜3，
得：0＜x+3＜8，B=（-3，5），
∴（∁_RA）∩B=（-3，-2]∪[-1，3]∪[4，5）．（7分）
（2）当（a，a+2）⊆B时，
得：$\left\{\begin{array}{l}a≥-3\\ a+2≤5\end{array}\right.$，
∴a∈[-3，3]．（10分）

点评 本题考查了集合的包含关系，考查指数函数以及对数函数的性质，是一道中档题．