Question

10．已知平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=AA₁=1，∠BAD=∠BAA₁=∠DAA₁=60°，则|$\overrightarrow{A{C_1}}$|=$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 根据空间向量可得$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}_{1}}$，两边平方即可得出答案．

解答 解：∵AB=AD=AA₁=1，∠BAD=∠BAA₁=∠DAA₁=60°，
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{A{A}_{1}}$=$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{A{A}_{1}}$=$\frac{1}{2}$，
∵$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}_{1}}$，
∴${\overrightarrow{A{C}_{1}}}^{2}$=${\overrightarrow{AB}}^{2}$+${\overrightarrow{AD}}^{2}$+${\overrightarrow{A{A}_{1}}}^{2}$+2$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}$+2$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{A{A}_{1}}$+2$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{A{A}_{1}}$=6，
∴|$\overrightarrow{A{C}_{1}}$|=$\sqrt{6}$．
故答案为：$\sqrt{6}$．

点评 本题考查了空间向量在立体几何中的应用，属于中档题．