Question

6．已知函数f（x）=e^x．
（1）若直线y=kx+1与y=f（x）关于y=x对称的图象相切，求k的值；
（2）设x＞0，讨论y=f（x）与y=mx²（m＞0）交点的个数；
（3）设a＜b，比较$\frac{f（a）+f（b）}{2}$与$\frac{f（b）-f（a）}{b-a}$的大小，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）设出切点，求出lnx的导数，求出切线的斜率，列出方程组，求出x₀，k；
（2）由条件转化为方程f（x）=mx²的根的个数，分离出参数m，令h（x）=$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}}$，求出h′（x），求出单调区间，求出极值，即为最值，根据图象讨论m的取值即可得到公共点的个数．
（3）利用作差法，令g（x）=x+2+（x-2）e^x（x＞0），利用导数研究其单调性即可证明．

解答 解：（1）设直线y=kx+1与函数y=g（x）=lnx的图象相切于点P（x₀，y₀），
则kx₀+1=lnx₀．且k=g′（x₀）=$\frac{1}{{x}_{0}}$，
即有lnx₀=2，x₀=e²，k=e^-2；
（2）当x＞0，m＞0时，曲线f（x）=e^x与曲线y=mx²（m＞0）的公共点的个数，
即方程f（x）=mx²的根的个数．
由f（x）=mx²即m=$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}}$，h′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-2）}{{x}^{3}}$，
则h（x）在（0，2）上递减，在（2，+∞）上递增，
∴h（2）是h（x）的极小值即为最小值，且为$\frac{{e}^{2}}{4}$．
∴对曲线y=f（x）与曲线y=mx²（m＞0）的公共点的个数，
讨论如下：
当m∈（0，$\frac{{e}^{2}}{4}$），有0个公共点；
当m=$\frac{{e}^{2}}{4}$时，有1个公共点；
当m∈（$\frac{{e}^{2}}{4}$，+∞），有2个公共点．
（3）$\frac{f（a）+f（b）}{2}$-$\frac{f（b）-f（a）}{b-a}$=$\frac{（b-a+2）f（a）+（b-a-2）f（b）}{2（b-a）}$=${\frac{（b-a+2）+（b-a-2{）e}^{b-a}}{2（b-a）}e}^{a}$，
令g（x）=x+2+（x-2）e^x（x＞0），则g′（x）=1+（x-1）e^x．
g^′′（x）=xe^x＞0，∴g′（x）在（0，+∞）上单调递增，且g′（0）=0，
∴g′（x）＞0，∴g（x）在（0，+∞）上单调递增，
而g（0）=0，∴在（0，+∞）上，有g（x）＞g（0）=0．
∵当x＞0时，g（x）=x+2+（x-2）•e^x＞0，且a＜b，
∴${\frac{（b-a+2）+（b-a-2{）e}^{b-a}}{2（b-a）}e}^{a}$＞0，
即当a＜b时，$\frac{f（a）+f（b）}{2}$＞$\frac{f（b）-f（a）}{b-a}$．

点评 本题综合考查了利用导数研究切线、单调性、方程得根的个数、比较两个实数的大小等基础知识，考查了分类讨论的思想方法、转化与化归思想方法，考查了推理能力和计算能力．