Question

已知函数，设F（x）=f（x）+g（x）
（1）求F（x）的单调区间；
（2）若以y=F（x）（x∈（0，3]）图象上任意一点P（x，y）为切点的切线的斜率恒成立，求实数a的最小值；
（3）若对所有的x∈[e，+∞）都有xf（x）≥ax-a成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出F（x），然后求出F'（x），分别求出F′（x）＞0与F′（x）＜0 求出F（x）的单调区间；
（2）利用导数的几何意义表示出切线的斜率k，根据恒成立将a分离出来，，即可求出a的范围，从而得到a的最小值；
（3）根据x≥e，所以，令，根据h'（x）的符号判定h（x）的单调性，求出最小值，即可求出a的范围．
解答：解：（1），．（2分）
因为a＞0由F′（x）＞0⇒x∈（a，+∞），所以F（x）在上单调递增；由F′（x）＜0⇒x∈（0，a），
所以F（x）在（0，a）上单调递减．（5分）
（2）恒成立，（7分）
即，当x=1时取得最大值．所以，，所以．（10分）
（3）因为x≥e，所以，令，则．（12分）
因为当x≥e时，，所以x-lnx-1≥e-lne-1=e-2＞0，
所以h′（x）＞0，所以，所以0＜．（16分）
点评：本题主要考查了函数的单调性，以及在某点处的切线问题和函数恒成立问题等有关知识，同时考查了转化与划归的思想，属于综合题．