Question

9．已知△ABC的三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且${S_{△ABC}}=\frac{{\sqrt{3}}}{12}{a^2}$．则使得sin²B+sin²C=msinBsinC成立的实数m的最大值是4．

Answer 1

分析 利用正弦定理将角化边得出m=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}}{bc}$，根据面积公式得出a²=$\frac{6bcsinA}{\sqrt{3}}$，代入余弦定理即可得出m关于A的式子，利用三角恒等变换求出m的最值．

解答 解：∵sin²B+sin²C=msinBsinC，
∴b²+c²=bcm，
∴m=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}}{bc}$，
∵${S_{△ABC}}=\frac{{\sqrt{3}}}{12}{a^2}$=$\frac{1}{2}$bcsinA，
∴a²=$\frac{6bcsinA}{\sqrt{3}}$，
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{m}{2}$-$\frac{{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{m}{2}$-$\sqrt{3}$sinA，
∴m=2cosA+2$\sqrt{3}$sinA=4sin（A+$\frac{π}{6}$），
∴当sin（A+$\frac{π}{6}$）=1即A=$\frac{π}{3}$时，m取得最大值4．
故答案为4．

点评 本题考查了正弦定理，余弦定理在三角形中的应用，三角恒等变换，属于中档题．