Question

17．已知数列{a_n}中的前n项和为S_n=$\frac{{n}^{2}+n}{2}$，又b_n=$\frac{1}{{S}_{n}}$．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{{n}^{2}+n}{2}$-$\frac{（n-1）^{2}+（n-1）}{2}$=n，当n=1时，也适合上式，求得数列{a_n}的通项公式；
（2）由b_n=$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{2}{{n}^{2}+n}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），利用“裂项法”即可求得数列{b_n}的前n项和T_n．

解答 解：（1）当n=1，a₁=S₁=1，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{{n}^{2}+n}{2}$-$\frac{（n-1）^{2}+（n-1）}{2}$=n，
当n=1时，也适合上式，
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=n，
（2）b_n=$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{2}{{n}^{2}+n}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
则数列{b_n}的前n项和为：T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n，
=2[（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）+…+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）]，
=2（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
=2（1-$\frac{1}{n+1}$），
=$\frac{2n}{n+1}$，
数列{b_n}的前n项和T_n=$\frac{2n}{n+1}$．

点评 本题考查数列的通项公式，考查利用“裂项法”求数列的前n项和公式的求法，考查计算能力，属于中档题．