Question

（本小题满分12分）已知椭圆过点，两焦点为、，是坐标原点，不经过原点的直线与椭圆交于两不同点、．

（1）求椭圆C的方程；

（2）当时，求面积的最大值；

（3）若直线、、的斜率依次成等比数列，求直线的斜率．

Answer 1

（1），（2）1，（3）

【解析】

试题分析：首先用待定系数法求出椭圆的标准方程，第二步设而不求，联立方程组消去得出关于的一元二次方程，根据根与系数关系，得出，注意满足，利用弦长公式求出，利用点到直线距离公式求出三角形的高，从而表示出三角形的面积，在用均值不等式求出最值即可，第三步直线的斜率依次成等比数列，根据斜率关系把代入，可求出斜率的值；试题解析：（1）由题意得,可设椭圆方程为 则，解得所以椭圆的方程为．

消去得: ，，

则，

设为点到直线的距离,则

，当且仅当时，等号成立 所以面积的最大值为．

（2）消去得: ，

则，

故

因为直线的斜率依次成等比数列，，，

所以 ,

由于故

考点：1．求椭圆方程；2．设而不求思想；3．求最值；4．灵活运用解题；