在平面直角坐标系中.椭圆C的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}}\right.$.已知以坐标原点为极点.x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.射线l的极坐标方程为θ=α(注:本题限定:ρ≥0.θ∈[0.2π))(1)把椭圆C的参数方程化为极坐标方程,(2)设射线l与椭圆C相交于� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

16．在平面直角坐标系中，椭圆C的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}}\right.$（θ为参数），已知以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l的极坐标方程为θ=α（ρ≥0）（注：本题限定：ρ≥0，θ∈[0，2π））
（1）把椭圆C的参数方程化为极坐标方程；
（2）设射线l与椭圆C相交于点A，然后再把射线l逆时针90°，得到射线OB与椭圆C相交于点B，试确定$\frac{1}{{{{|{OA}|}^2}}}+\frac{1}{{{{|{OB}|}^2}}}$是否为定值，若为定值求出此定值，若不为定值请说明理由．

分析（1）椭圆C的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}}\right.$（θ为参数），利用三角函数基本关系式可得：椭圆C的普通方程．把 $\left\{{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}}\right.$代入直角坐标方程可得极坐标方程．
（2）由（1）得椭圆的极坐标方程可化为$ρ=\frac{{\sqrt{2}}}{{\sqrt{1+{{sin}^2}θ}}}$．由已知可得：在极坐标下，可设$A（{{ρ_1}，α}），B（{{ρ_2}，α+\frac{π}{2}}）$，分别代入$ρ=\frac{{\sqrt{2}}}{{\sqrt{1+{{sin}^2}θ}}}$中：可得$\frac{1}{{{ρ_1}^2}}=\frac{{1+{{sin}^2}α}}{2}$，$\frac{1}{{{ρ_2}^2}}=\frac{{1+{{cos}^2}α}}{2}$．即可得出．

解答解：（1）∵椭圆C的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}}\right.$（θ为参数），
∴椭圆C的普通方程为$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$．
把 $\left\{{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}}\right.$代入直角坐标方程可得：$\frac{{{ρ^2}{{cos}^2}θ}}{2}+{ρ^2}{sin^2}θ=1$，化为：ρ²+ρ²sin²θ=2．
（2）由（1）得椭圆的极坐标方程可化为$ρ=\frac{{\sqrt{2}}}{{\sqrt{1+{{sin}^2}θ}}}$，
由已知可得：在极坐标下，可设$A（{{ρ_1}，α}），B（{{ρ_2}，α+\frac{π}{2}}）$，
分别代入$ρ=\frac{{\sqrt{2}}}{{\sqrt{1+{{sin}^2}θ}}}$中：
有${ρ_1}=\frac{{\sqrt{2}}}{{\sqrt{1+{{sin}^2}α}}}$，${ρ_2}=\frac{{\sqrt{2}}}{{\sqrt{1+{{cos}^2}α}}}$，
∴$\frac{1}{{{ρ_1}^2}}=\frac{{1+{{sin}^2}α}}{2}$，$\frac{1}{{{ρ_2}^2}}=\frac{{1+{{cos}^2}α}}{2}$．
则$\frac{1}{{{ρ_1}^2}}+\frac{1}{{{ρ_2}^2}}=\frac{3}{2}$即$\frac{1}{{{{|{OA}|}^2}}}+\frac{1}{{{{|{OB}|}^2}}}=\frac{3}{2}$．
故$\frac{1}{{{{|{OA}|}^2}}}+\frac{1}{{{{|{OB}|}^2}}}$为定值$\frac{3}{2}$．

点评本题考查了极坐标与直角坐标方程的互化、参数方程化为普通方程、极坐标的应用、三角函数的基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．