Question

1．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）过点M（1，$\frac{3}{2}$），且一个焦点为F₁（-1，0），直线l与椭圆C交于P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）两不同点，O为坐标原点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若△OPQ的面积为$\sqrt{3}$，证明：x₁²+x₂²和y₁²+y₂²均为定值；
（3）在（2）的条件下，设线段PQ的中点为M，求|OM|•|PQ|的最大值．

Answer 1

分析 （1）由椭圆的方程可知焦点在x轴上，c=1，由a²=b²+c²，求得椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}+1}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，将点M（1，$\frac{3}{2}$），代入椭圆方程，即可求得a和b的值，写出椭圆方程；
（2）直线l的斜率不存在时，P，Q两点关于x轴对称，x₁=x₂，y₁=-y₂，由三角形面积公式即可求得|x₁|和|y₁|的值，可知x₁²+x₂²和y₁²+y₂²均为定值，当直线斜率存在，设出直线方程代入椭圆方程，利用△＞0及韦达定理求得x₁+x₂和x₁•x₂的关系，利用点到直线的距离公式和弦长公式求得△OPQ的面积，求得a和k的关系式，即可证明x₁²+x₂²为定值，利用y₁=kx₁+b，y₂=kx₂+b，即可求得y₁²+y₂²为定值；
（3）根据中点坐标公式，求得4丨OM丨²+丨PQ丨²的值，根据基本不等式，得丨OM丨•丨PQ丨≤$\frac{7}{2}$，即可求得|OM|•|PQ|的最大值．

解答 解：由题意得：焦点在x轴上，c=1，a²=b²+c²，即a²=b²+1，
椭圆方程变为：$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}+1}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，将M（1，$\frac{3}{2}$），代入椭圆方程，
整理得：$\frac{1}{{b}^{2}+1}+\frac{9}{4{b}^{2}}=1$，解得b²=3，a²=4
∴椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）当直线l的斜率不存在时，P，Q两点关于x轴对称，
所以x₁=x₂，y₁=-y₂，
∵P（x₁，y₁）在椭圆上，
∴$\frac{{x}_{1}^{2}}{4}$+$\frac{{y}_{1}^{2}}{3}$=1，
△OPQ的面积为$\sqrt{3}$，|x₁||y₁|=$\sqrt{3}$，
∴|x₁|=$\sqrt{2}$，|y₁|=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
x₁²+x₂²=4，y₁²+y₂^2₌3均为定值；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+b，
将其代入椭圆方程整理得：（3+4k²）x²+8kbx+4b²-12=0，
△=（8kb）²-4（3+4k²）•（4b²-12）=48（3+4k²-b²）＞0，即3+4k²＞b²，
由韦达定理可知x₁+x₂=-$\frac{8kb}{3+4{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{4{b}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
∴丨PQ丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=4$\sqrt{3}$•$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{\sqrt{3+4{k}^{2}-{b}^{2}}}{3+4{k}^{2}}$，
点O到直线l的距离为d=$\frac{丨b丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
则△OPQ的面积S=$\frac{1}{2}$•d•丨PQ丨=$\frac{1}{2}$•$\frac{丨b丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$•4$\sqrt{3}$•$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{\sqrt{3+4{k}^{2}-{b}^{2}}}{3+4{k}^{2}}$=2$\sqrt{3}$•$\frac{\sqrt{3+4{k}^{2}-{b}^{2}}}{3+4{k}^{2}}$，
即2$\sqrt{3}$•$\frac{\sqrt{3+4{k}^{2}-{b}^{2}}}{3+4{k}^{2}}$=$\sqrt{3}$，整理得：3+4k²=b²，满足△＞0，
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=（-$\frac{8kb}{3+4{k}^{2}}$）²-2$\frac{4{b}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$=4，
y₁=kx₁+b，y₂=kx₂+b，
∴y₁²+y₂^2₌k²（x₁²+x₂²）+2kb（x₁+x₂）+2b²=4k²-8k²+2b²=3，
综上可知：x₁²+x₂²=4，y₁²+y₂^2₌3均为定值；
（3）4丨OM丨²+丨PQ丨²=（x₁+x₂）²+（y₁+y₂）²+（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²，
=2[（x₁²+x₂²）+（y₁²+y₂²）]=14，
所以2丨OM丨•丨PQ丨≤$\frac{4丨OM{丨}^{2}+丨PQ{丨}^{2}}{2}$=7，
即丨OM丨•丨PQ丨≤$\frac{7}{2}$，当且仅当21OM丨=丨PQ丨=$\sqrt{7}$时等号成立，
因此丨OM丨•丨PQ丨的最小值为$\frac{7}{2}$．

点评 本题考查求椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，弦长公式和点到直线的距离公式，是一道综合性的试题，考查了学生综合运用知识解决问题的能力，属于难题．