Question

14．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角为45°，且|$\overrightarrow{a}$|=4，（$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•（2$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow{b}$）=12．
（1）求|$\overrightarrow{b}$|
（2）求$\overrightarrow{b}$在$\overrightarrow{a}$方向上的投影．

Answer 1

分析 （1）根据条件可求得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=2\sqrt{2}|\overrightarrow{b}|$，进行数量积的运算，便可由$（\frac{1}{2}\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）•（2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}）=12$得出$3|\overrightarrow{b}{|}^{2}-\sqrt{2}|\overrightarrow{b}|-4=0$，解该方程即可求得$|\overrightarrow{b}|$的值；
（2）根据投影的计算公式即可得出$\overrightarrow{b}$在$\overrightarrow{a}$方向上的投影．

解答 解：（1）根据条件，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|cos45°=2\sqrt{2}|\overrightarrow{b}|$；
∴$（\frac{1}{2}\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）•（2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}）$=${\overrightarrow{a}}^{2}+\frac{1}{2}\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}-3{\overrightarrow{b}}^{2}$=$16+\sqrt{2}|\overrightarrow{b}|-3|\overrightarrow{b}{|}^{2}=12$；
∴$3|\overrightarrow{b}{|}^{2}-\sqrt{2}|\overrightarrow{b}|-4=0$；
解得$|\overrightarrow{b}|=\sqrt{2}$或$-\frac{2\sqrt{2}}{3}$（舍去）；
（2）$\overrightarrow{b}$在$\overrightarrow{a}$上的投影为$|\overrightarrow{b}|cos45°=\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=1$．

点评 考查数量积的运算及计算公式，一元二次方程的解法，以及投影的定义及计算公式．