Question

11．如图，四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，PA=CD=AD=2AB=2，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点．
（1）求证：BE∥面PAD；
（2）求直线BE与平面PAB所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）利用三角形的中位线定理、平行四边形的判定与性质定理及线面平行的判定定理即可证明；
（2）由BE∥AM，可得直线BE与平面PAB所成角的正弦值=直线MA与平面PAB所成角的正弦值=sin∠PAM．

解答 （1）证明：取PD的中点为M，连接ME，MA，
∵E是PC的中点，∴ME是△PCD的中位线．
∴ME∥CD，ME=$\frac{1}{2}$CD．
又∵AB∥CD，2AB=CD，
∴ME∥AB，且ME=AB．
∴四边形MEBA是平行四边形，
∴BE∥AM．
∵BE?平面PAD，AM?平面PAD，
∴BE∥平面PAD．
（2）解：直线BE与平面PAB所成角的正弦值=直线MA与平面PAB所成角的正弦值=sin∠PAM，
∵PA⊥底面ABCD，PA=DA，M是PD的中点，
∴∠PAM=45°，
∴sin∠PAM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查的知识点是直线与平面所成的角，直线与平面平行的判定，熟练掌握线面平行的判定定理是解题的关键．