Question

8．已知抛物线y²=2px（p＞0）上一 点M（1，y₀）到其焦点的距离为5，双曲线$C：{x^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（b＞0）的左顶点为A，若双曲线C的一条渐近线垂直于直线AM，则其离心率为$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$．

Answer 1

分析 利用抛物线的焦点弦公式求得p的值，代入抛物线方程求得M点坐标，利用直线的斜率公式，即可求得AM的斜率，由双曲线的渐近线方程y=±bx，-b×2=-1，即可求得b的值，即可求得双曲线的离心率．

解答 解：由抛物线的定义可知：M（1，y₀）到其焦点的距离为5，即1+$\frac{p}{2}$=5，
则p=8，
抛物线的标准方程y²=16x，则M（1，4）或M（1，-4），
假设M（1，4），A（-1，0），则AM的斜率为k=$\frac{4-0}{1-（-1）}$=2，
双曲线的渐近线方程y=±bx，
由双曲线C的一条渐近线垂直于直线AM，则-b×2=-1，
故b=$\frac{1}{2}$．则c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{1+\frac{1}{4}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
双曲线的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查抛物线的定义，双曲线的简单几何性质，直线的斜率公式，考查计算能力，属于中档题．