Question

18．已知a＞0，f（x）=acosπx+（1-x）sinπx，x∈[0，2]，则f（x）所有的零点之和为2．

Answer 1

分析 x=1，$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$时，f（x）≠0，因此都不是函数f（x）的零点．由f（x）=acosπx+（1-x）sinπx=0，化为：tanπx=$\frac{a}{x-1}$，（x≠1）．分别作出函数y=tanπx，y=$\frac{a}{x-1}$，（x≠1）的图象，则此两函数的图象都关于（1，0）成中心对称，即可得出．

解答 解：x=1时，f（1）=acosπ=-a＜0，因此1不是函数f（x）的零点．同理x=$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$，也不是函数f（x）的零点．
由f（x）=acosπx+（1-x）sinπx=0，化为：tanπx=$\frac{a}{x-1}$，（x≠1，$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$）．
作出函数y=tanπx，y=$\frac{a}{x-1}$，（x≠1）的图象，
则此两函数的图象都关于（1，0）成中心对称，
由函数的单调性与对称性可得：x∈[0，2]，两函数y=tanπx，y=$\frac{a}{x-1}$，（x≠1）的图象有且仅有两个交点，并且关于（1，0）成中心对称，不妨设交点的横坐标分别为x₁，x₂，
∴x₁+x₂=2．
故答案为：2．

点评 本题考查了通过函数的图象的交点得出函数的零点，考查了数形结合、推理能力与计算能力，属于中档题．