Question

17．已知函数f（x）=1-$\frac{m}{{{5^x}+1}}$是奇函数．
（1）求m的值；
（2）证明：f（x）是R上的增函数
（6）当x∈[-1，2），求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）运用奇函数的性质：f（0）=0，可得m=2．
（2）由（1）可得f（x）=1-$\frac{2}{{5}^{x}+1}$，故f′（x）=$\frac{2ln5•{5}^{x}}{（{5}^{x}+1）^{2}}$，由f′（x）＞0恒成立，可得：f（x）是R上的增函数
（3）利用f （x）是[-1，2）上的增函数，即可求函数f （x）的值域

解答 解：（1）因为函数f（x）=1-$\frac{m}{{{5^x}+1}}$是奇函数，
所以f（0）=1-$\frac{m}{{5}^{0}+1}$=0，
解得：m=2，
（2）证明：（2）由（1）得：函数f（x）=1-$\frac{2}{{5}^{x}+1}$，
故f′（x）=$\frac{2ln5•{5}^{x}}{（{5}^{x}+1）^{2}}$，
∵f′（x）＞0恒成立，
∴f（x）是R上的增函数；
（3）由（2）知f （x）是[-1，2）上的增函数，
∵f （-1）=-$\frac{2}{3}$，f （2）=$\frac{12}{13}$
∴当x∈[-1，2）时，函数f （x）的值域是[-$\frac{2}{3}，\frac{12}{13}]$．

点评 本题考查的知识点是函数单调性的判断与证明，导数法研究函数的单调性，函数的奇偶性，函数解析式的求法，难度中档