题目内容
12．若函数f（x）=x3-tx2+3x在区间[1，4]上单调递增，则实数t的取值范围是（ ）| A． | $（-∞，\frac{51}{8}]$ | B． | （-∞，3] | C． | $[\frac{51}{8}，+∞）$ | D． | [3，+∞） |
分析 由题意可得f′（x）≥0即3x2-2tx+3≥0在[1，4]上恒成立，由二次函数的性质可得不等式组的解集．
解答 解：∵函数f（x）=x3-tx2+3x，
∴f′（x）=3x2-2tx+3，
若函数f（x）=x3-tx2+3x在区间[1，4]上单调递增，
则f′（x）≥0即3x2-2tx+3≥0在[1，4]上恒成立，
∴t≤$\frac{3}{2}$（x+$\frac{1}{x}$）在[1，4]上恒成立，
令y=$\frac{3}{2}$（x+$\frac{1}{x}$），由对勾函数的图象和性质可得：函数在[1，4]为增函数，
当x=1时，函数取最小值3，
∴t≤3，
即实数t的取值范围是（-∞，3]，
故选：B．
点评 本题主要考查函数的单调性和导数符号间的关系，二次函数的性质，属于中档题．
练习册系列答案
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20．给出下面类比推理命题（其中R为实数集，C为复数集），正确的是（ ）
| A． | 若a，b∈R，则a-b＞0⇒a＞b，推出：若a，b∈C，则a-b＞0⇒a＞b | |
| B． | 若a，b∈R，则a2+b2=0⇒a=b=0，推出：若a，b∈C，则a2+b2=0⇒a=b=0 | |
| C． | 若a，b∈R，则a-b=0⇒a=b，推出：若a，b∈C，则a-b=0⇒a=b | |
| D． | 若x∈R，则|x|＜1⇒-1＜x＜1，推出：若x∈C，则|x|＜1⇒-1＜x＜1 |
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已知函数f（x）=ax+b（a＞0，且a≠1）．若f（x）的图象如图所示，
2．为研究质量x（单位：g）对弹簧长度y（单位：cm）的影响，对不同质量的6根弹簧进行测量，得到如下数据：
（1）画出散点图；
（2）如果散点图中的各点大致分布在一条直线的附近，求y与x之间的回归方程．
（ 其中 $\begin{array}{l}b=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\overline y）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}}}=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{{x_i}^2-n{{\overline x}^2}}}}\\ a=\overline y-b\overline x\end{array}$）
| x （g） | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 |
| y （cm） | 7.25 | 8.12 | 8.95 | 9.90 | 10.9 | 11.8 |
（2）如果散点图中的各点大致分布在一条直线的附近，求y与x之间的回归方程．
（ 其中 $\begin{array}{l}b=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\overline y）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}}}=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{{x_i}^2-n{{\overline x}^2}}}}\\ a=\overline y-b\overline x\end{array}$）