Question

10．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，-2），点B（1，-1），P为圆x²+y²=2上一动点，则$\frac{PB}{PA}$的最大值是2．

Answer 1

分析 设出$\frac{PB}{PA}$=t，化简可得圆的方程，运用两圆相减得交线，考虑圆心到直线的距离不大于半径，即可得出结论．

解答 解：设P（x，y），$\frac{PB}{PA}$=t，则（1-t²）x²+（1-t²）y²-2x+（2-4t²）y+2-4t²=0，
圆x²+y²=2两边乘以（1-t²），两圆方程相减可得x-（1-2t²）y+2-3t²=0，
（0，0）到直线的距离d=$\frac{|2-3{t}^{2}|}{\sqrt{1+（1-2{t}^{2}）^{2}}}$$≤\sqrt{2}$，
∵t＞0，∴0＜t≤2，
∴$\frac{PB}{PA}$的最大值是2，
故答案为2．

点评 本题考查圆的方程，考查圆与圆位置关系的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．