Question

11．已知函数f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{k}{x}，x≥2}\\{{{（{x-1}）}^2}，x＜2}\end{array}}$，若方程f（x）=$\frac{1}{2}$有三个不同的实根，则实数k的范围是（　　）

• A． （1，2]
• B． [1，+∞）
• C． [1，2）
• D． [1，2]

Answer 1

分析 把方程f（x）=$\frac{1}{2}$有三个不同的实根转化为函数y=f（x）的图象与y=$\frac{1}{2}$有三个不同交点，画出函数图象，数形结合可得$\frac{k}{2}≥\frac{1}{2}$，从而求得实数k的范围．

解答 解：方程f（x）=$\frac{1}{2}$有三个不同的实根，即函数y=f（x）的图象与y=$\frac{1}{2}$有三个不同交点．
作出函数的图象如图：

由图可知：$\frac{k}{2}≥\frac{1}{2}$，得k≥1．
∴实数k的范围是[1，+∞）．
故选：B．

点评 本题考查根的存在性及根的个数判断，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．