Question

（本小题满分13分）等差数列的前项和为，已知为整数，且在前项和中最大.

（Ⅰ）求的通项公式；

（Ⅱ）设.

（1）求证：； （2）求数列的前项和.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）（1）见解析；（2）.

【解析】

试题分析: （Ⅰ）因为等差数列的前项和中最大，，为整数，所以公差是负整数，且，所以，结合是整数，求得公差，再求出通项公式；

（Ⅱ）先求出，（1）利用做差比较法可知是递减数列，进而证得结论；（2）因为，所以，，利用错位相减法求得数列的前项和.等差数列与等比数列对应项相乘构成新数列求和，要用错位相减法.

试题解析：（Ⅰ）由为整数知，等差数列的公差为整数， 1分

又，故，即， 3分

解得 ， 4分

因此， 5分

数列的通项公式为. 6分

（Ⅱ）（1）由题意知，∴， 8分

∴数列是单调递减数列，的最大项为，所以 9分

，

，

两式相减得， 11分

∴ 13分

考点：①求数列通项公式；②数列的单调性；③数列求和.