Question

2．已知α，β∈（0，$\frac{π}{2}$），且sin（α+2β）=$\frac{7}{5}$sinα．
（1）求tan（α+β）-6tanβ的值；
（2）若tanα=3tanβ，求α的值．

Answer 1

分析 （1）把已知等式变形，展开两角和与差的正弦，在转化为正切求得tan（α+β）-6tanβ的值；
（2）由（1）求出的tan（α+β）-6tanβ的值，展开两角和的正切，结合tanα=3tanβ求α的值．

解答 解：（1）由sin（α+2β）=$\frac{7}{5}$sinα，得sin[（α+β）+β]=$\frac{7}{5}$sin[（α+β）-β]，
∴5sin（α+β）cosβ+5cos（α+β）sinβ=7sin（α+β）cosβ-7cos（α+β）sinβ，
得2sin（α+β）cosβ-12cos（α+β）sinβ=0，即tan（α+β）-6tanβ=0；
（2）由tan（α+β）-6tanβ=0，得$\frac{tanα+tanβ}{1-tanαtanβ}-6tanβ=0$，
又tanα=3tanβ，∴tan$β=\frac{1}{3}tanα$，代入上式得：$\frac{\frac{4}{3}tanα}{1-\frac{1}{3}ta{n}^{2}α}-2tanα=0$，
解得：tanα=1，
∵α∈（0，$\frac{π}{2}$），∴$α=\frac{π}{4}$．

点评 本题考查三角函数的化简求值，考查了两角和与差的三角函数的应用，是中档题．