Question

已知函数f(x)＝，x∈[1，＋∞)．

(1)当a＝时，求f(x)的最小值；

(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围．

Answer 1

解：(1)当a＝时，f(x)＝x＋＋2，

设1≤x₁＜x₂，

则f(x₂)－f(x₁)＝(x₂－x₁)(1－)，

∵1≤x₁＜x₂，

∴x₂－x₁＞0,2x₁x₂＞2，

∴0＜＜，1－＞0，

∴f(x₂)－f(x₁)＞0，f(x₁)＜f(x₂)．

∴f(x)在区间[1，＋∞)上为增函数，

∴f(x)在区间[1，＋∞)上的最小值为f(1)＝.

(2)在区间x∈[1，＋∞)上f(x)＞0恒成立

⇔x²＋2x＋a＞0恒成立．

设y＝x²＋2x＋a，x∈[1，＋∞)，

则函数y＝x²＋2x＋a＝(x＋1)²＋a－1在区间[1，＋∞)上是增函数．

∴当x＝1时，y_min＝3＋a，

于是当且仅当y_min＝3＋a＞0时，函数f(x)＞0恒成立，

故a＞－3.