Question

16．已知△ABC的内角A，B，C的三条对边分别为a，b，c，且b（3b-c）cosA=$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$．
（Ⅰ）求cosA；
（Ⅱ）若△ABC的面积为2$\sqrt{2}$，且AB边上的中线CM的长为2$\sqrt{2}$，求b，c的值．

Answer 1

分析 （I）由b（3b-c）cosA=$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$=bacosC，可得：（3b-c）cosA=acosC．由正弦定理可得：3sinBcosA-sinCcosA=sinAcosC，化简整理即可得出．
（II）由cosA=$\frac{1}{3}$，A∈（0，π），可得sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，又$\frac{1}{2}$bcsinA=2$\sqrt{2}$，可得bc=6，利用余弦定理可得：CM²=b²+$（\frac{1}{2}c）^{2}$-2×$b×\frac{1}{2}c$cosA，化为4b²+c²=40，联立解出即可得出．

解答 解：（I）∵b（3b-c）cosA=$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$=bacosC，可得：（3b-c）cosA=acosC．
由正弦定理可得：3sinBcosA-sinCcosA=sinAcosC，
∴3sinBcosA=sin（C+A）=sinB，
∵B∈（0，π），
∴sinB≠0，
可得cosA=$\frac{1}{3}$．
（II）由cosA=$\frac{1}{3}$，A∈（0，π），
∴sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∵$\frac{1}{2}$bcsinA=2$\sqrt{2}$，
∴bc=6，
于是：CM²=b²+$（\frac{1}{2}c）^{2}$-2×$b×\frac{1}{2}c$cosA，
化为4b²+c²=40，与bc=6联立，
解得b=1，c=6，或b=3，c=2．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、和差公式、同角三角函数基本关系式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．