Question

已知边长为1的等边△ABC，在线段AC上任取一点P（不与端点重合），将△ABP折起，使得平面BPC⊥平面ABP，则当三棱锥A-PBC的体积最大时，点A到面PBC的距离是

 

．

Answer 1

分析：设AP=x，则PC=1-x，我们求出底面三角形BPC的面积，及高的长度，可以得到三棱锥A-PBC的体积V的表达式（含参数x），利用换元法，结合二次函数的性质，我们可求出当三棱锥A-PBC的体积最大时，点A到面PBC的距离．

解答：解：设AP=x，则PC=1-x，
则S_△BPC=

1

2

•1•(1-x)•

3

2

=

3

4

•（1-x）
点A到平面BPC的距离就是△ABP的中BP边上的高
∴H=

2S△ABP

BP

=

3 2 x

x2-x+1

故三棱锥A-PBC的体积V=

1

8

•

-(x2-x)

(x2-x)+1

令t=x²-x（t∈[-

1

4

，0）
则V=

1

8

•

-t

t+1

=

1

8

•

1

1 t + 1 t2

=

1

8

•

1

( 1 t + 1 2 )2+ 3 4

故t=-

1

4

，即x=

1

2

时，V取最大值
故答案为：

1

2

点评：本题考查的知识点是棱锥的体积，函数的最值，其中设AP=x，则PC=1-x，并得到三棱锥A-PBC的体积V的表达式，是解答本题的关键．