Question

已知定义在R上的偶函数f（x）满足对任意x都有f（1-x）=f（1+x），当x∈[0，1]时，f（x）=x²，若方程f（x）-ax=0在区间[2k-1，2k+1]（k∈N⁺且k为常数）有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是

 

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Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：由已知的等式求得函数周期，再由当x∈[0，1]时，f（x）=x²求得函数f（x）在区间[2k-1，2k+1]上的解析式，数形结合列式求得方程f（x）-ax=0在区间[2k-1，2k+1]（k∈N⁺且k为常数）有两个不相等的实数根的实数a的取值范围．

解答： 解：在f（1-x）=f（1+x）中，以x+1代x，得f（-x）=f（x+2），
又f（x）为偶函数，则f（x+2）=f（x），
∴f（x）是周期为2的周期函数，且对称轴方程为x=1．
当x∈[0，1]时，f（x）=x²，则和的图象如图，

函数f（x）在区间[2k-1，2k+1]上的解析式为f（x）=（x-2k）²，
要使方程f（x）-ax=0在区间[2k-1，2k+1]（k∈N⁺且k为常数）有两个不相等的实数根，
则

a＞0 (2k+1-2k)2≥a(2k+1)

，解得：0＜a≤

1

2k+1

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故答案为：0＜a≤

1

2k+1

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点评：本题考查了函数奇偶性的性质，考查了数学结合的解题思想方法，是中档题．