Question

1．已知函数f（x）=e^x-ax+1，其中a为实常数，e=2.71828…为自然对数的底数．
（1）当a=e时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）有最小值，并设函数f（x）的最小值为g（a），求证：g（a）≤2．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）通过讨论a的范围，问题转化为求出g（a）的最大值，从而证出结论即可．

解答 解：（1）函数f（x）的定义域是R，
当a=e时，f'（x）=e^x-e，
令f'（x）=0解得x=1，
令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：x＜1，
∴f（x）的单调递减区间是（-∞，1），递增区间是（1，+∞）；
（2）证明：f'（x）=e^x-a，
①当a≤0时，可知f'（x）=e^x-a≥0恒成立，
所以f（x）在R上单调递增，无最小值；
②当a＞0时令f'（x）=0，解得x=lna，
令f′（x）＞0，解得：x＞lna，令f′（x）＜0，解得：x＜lna，
∴f（x）在（-∞，lna）递减，在（lna，+∞）递增，
∴g（a）=f_min（x）=f（lna）=a-alna+1，
要证明g（a）≤2，则只需证明g_max（a）≤2，
而g'（a）=-lna，令g'（a）=0，解得a=1，
令g′（a）＞0，解得：a＜1，令g′（a）＜0，解得：a＞1，
∴g_max（a）=g（1）=2≤2成立，
∴g（a）≤2．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，是一道中档题．