Question

（本小题满分12分）在锐角△ABC中，分别为∠A、∠B、∠C所对的边，且

（1）确定∠C的大小；

（2）若c＝，求△ABC周长的取值范围．

 

Answer 1

（1）或;（2）.

【解析】

试题分析：（1）利用正弦定理，将边角关系转化为角角关系进行求解；（2）利用正弦定理用角A的三角函数表示，利用三角函数的图像与性质进行求解.

解题思路: 解三角形问题，要灵活选用正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式和内角和定理进行求解，还往往与两角和的三角公式相联系.

试题解析：（1）已知a、b、c分别为∠A、∠B、∠C所对的边，由a＝2csinA，

得sinA＝2sinCsinA，又sinA≠0，则sinC=，∴∠C=60°或∠C=120°,

∵△ABC为锐角三角形，∴∠C=120°舍去。∴∠C=60°

（2）∵c=，sinC=

∴由正弦定理得：,

即a=2sinA，b=2sinB，又A+B=π-C=，即B=-A，

∴a+b+c=2（sinA+sinB）+

=2[sinA+sin（-A）]+

=2（sinA+sincosA-cossinA）+

=3sinA+cosA+

=2（sinAcos+cosAsin）+

=2sin（A+）+，

∵△ABC是锐角三角形，

∴＜∠A＜，∴＜sin（A+）≤1，

则△ABC周长的取值范围是（3+，3].

考点：1.正弦定理；2.三角恒等变换；3.三角函数的图像与性质.