Question

16．已知m≠0，向量$\overrightarrow a$=（m，3m），向量$\overrightarrow b$=（m+1，6），集合A={x|（x-m²）（x+m-2）=0}．
（1）判断“$\overrightarrow a$∥$\overrightarrow b$”是“|${\overrightarrow a}$|=$\sqrt{10}$”的什么条件
（2）设命题p：若$\overrightarrow a$⊥$\overrightarrow b$，则m=-19，命题q：若集合A的子集个数为2，则m=1，判断p∨q，p∧q，￢q的真假，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由$\overrightarrow a∥\overrightarrow b$，则6m=3m（m+1解出m即可判断出结论．
（2）若$\overrightarrow a⊥\overrightarrow b$，则m（m+1）+18m=0，解出m，即可判断出p真假．由（x-m²）（x+m-2）=0得x=m²，或x=2-m，若集合A的子集个数为2，则集合A中只有1个元素，
则m²=2-m，解得m，即可判断出真假．

解答 解：（1）若$\overrightarrow a∥\overrightarrow b$，则6m=3m（m+1），∴m=1（m=0舍去），此时，$\overrightarrow a=（{1，3}），|{\overrightarrow a}|=\sqrt{10}$，
若$|{\overrightarrow a}|=\sqrt{10}$，则m=±1，故“$\overrightarrow a∥\overrightarrow b$”是“$|{\overrightarrow a}|=\sqrt{10}$”的充分不必要条件．
（2）若$\overrightarrow a⊥\overrightarrow b$，则m（m+1）+18m=0，∴m=-19（m=0舍去），∴p为真命题．
由（x-m²）（x+m-2）=0得x=m²，或x=2-m，若集合A的子集个数为2，则集合A中只有1个元素，
则m²=2-m，解得m=1或-2，∴q为假命题．
∴p∨q为真命题，p∧q为假命题，￢q为真命题．

点评 本题考查了向量共线定理、向量垂直与数量积的关系、集合的运算性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．