Question

9．双曲线4x²-2y²=1的右焦点为F，以OF为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点P，则|PF|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 求出双曲线的标准方程，利用方程组法求出交点坐标进行求解即可．

解答 解：双曲线的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{4}}-\frac{{y}^{2}}{\frac{1}{2}}=1$，则a²=$\frac{1}{4}$，b²=$\frac{1}{2}$，c²=$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{4}$，
即c=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，b=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，则F（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），
则以OF为直径的圆的方程为（x-$\frac{\sqrt{3}}{4}$）²+y²=$\frac{3}{16}$，
双曲线的一条渐近线为y=$\sqrt{2}$x，代入（x-$\frac{\sqrt{3}}{4}$）²+y²=$\frac{3}{16}$，
得x=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，y=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，即P（$\frac{\sqrt{3}}{6}$，$\frac{\sqrt{6}}{6}$），
则|PF|=$\sqrt{（\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{6}）^{2}+（\frac{\sqrt{6}}{6}）^{2}}$=$\sqrt{\frac{1}{3}+\frac{1}{6}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题主要考查双曲线性质的应用，利用方程思想求出双曲线的标准方程以及交点坐标是解决本题的关键．