题目内容

2．设F1，F2分别是椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|=3|BF1|，若cos∠AF2B=$\frac{3}{5}$，则椭圆E的离心率为（　　）
A．$\frac{1}{2}$B．$\frac{2}{3}$C．$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$D．$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$

分析 设|F1B|=k（k＞0），则|AF1|=3k，|AB|=4k，由cos∠AF2B=$\frac{3}{5}$，利用余弦定理，可得a=3k，从而△AF1F2是等腰直角三角形，即可求椭圆E的离心率．

解答 解：设|F1B|=k（k＞0），则|AF1|=3k，|AB|=4k，
∴|AF2|=2a-3k，|BF2|=2a-k
∵cos∠AF2B=$\frac{3}{5}$，
在△ABF2中，由余弦定理得，|AB|2=|AF2|2+|BF2|2-2|AF2|•|BF2|cos∠AF2B，
∴（4k）2=（2a-3k）2+（2a-k）2-$\frac{6}{5}$（2a-3k）（2a-k），
化简可得（a+k）（a-3k）=0，而a+k＞0，故a=3k，
∴|AF2|=|AF1|=3k，|BF2|=5k，
∴|BF2|2=|AF2|2+|AB|2，
∴AF1⊥AF2，
∴△AF1F2是等腰直角三角形，
∴c=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
∴椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故选：D．

点评 本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、勾股定理的逆定理、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

练习册系列答案
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