Question

设数列的前n项和为，且（）.

（1）求，，，的值；

（2）猜想的表达式，并加以证明。

 

Answer 1

（1）,,,; （2）猜想（）,证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）由条件，当时，有，解得，同理当分别取2，3，4可得，，的值；（2）由（1）中前四项的值可猜想,由得，两式相减并化为，则是等比数列，求出通项公式，可得的通项公式.

【解析】
（1）因为，， （1分）

所以，当时，有，解得； （2分）

当时，有，解得； （3分）

当时，有，解得； （4分）

当时，有，解得．（5分）

（2）猜想（） （9分）

方法一：

由（），得（）， （10分）

两式相减，得，即（）．（11分）

两边减2，得， （12分）

所以{}是以-1为首项，为公比的等比数列，

故， （13分）

即（）． （14分）

方法二：

①当n=1时，由（1）可知猜想显然成立； （10分）

②假设当n=k时，猜想成立，即， （11分）

由（），得，

两式相减，得， （12分）

所以，

即当n=k+1时，猜想也成立． （13分）

根据①和②，知对任意，猜想成立．（14分）

考点：1.等比数列；2.猜想.