Question

数列{an}中，，试证：．

 

Answer 1

见解析

【解析】

试题分析：由题设知an＞0，当n=1时，；当n=2时，．假设当n=k（k∈N）时，，那么当n=k+1时，，．再用作商法比较和的大小．从而证明出，．

证明：∵a1=2，，∴an＞0，

∵0.5an2﹣an+1an+1=0，由△=an+12﹣2≥0，得（舍去）或．

当n=1时，；

当n=2时，．

假设当n=k（k∈N）时，，

那么当n=k+1时，，

∵，当且仅当时等号成立，，

∴．

面用作商法比较和的大小．

∵=，

∴，

∴，

即当n=k+1时，成立．

∴对于任意n∈N，均成立．