题目内容

（文）对于任意 $数学公式$ ，不等式psin²x+cos⁴x≥0恒成立，则实数p的最小值为________．

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分析：由psin²x+cos⁴x≥0，知p（1-cos²x-cosx⁴）≥0，所以-（cos²x+ $\text{[math]}$ ）²-p+ $\text{[math]}$ p²≥0，（cos²x- $\text{[math]}$ ）²≤p- $\text{[math]}$ p²，p≥4或p≤0，由此解得p的最小值为0．
解答：∵psin²x+cos⁴x≥0，
∴p（1-cos²x）+cosx⁴≥0，
-（cos²x+ $\text{[math]}$ ）²-p+ $\text{[math]}$ p²≥0，
（cos²x- $\text{[math]}$ ）²≤p- $\text{[math]}$ p²（1）
当p- $\text{[math]}$ p²＜0时（1）式显然不成立，
p≥4或p≤0，
当0≤p≤2即0＜ $\text{[math]}$ ≤1，p- $\text{[math]}$ p²≥0，
0≤（cos²x- $\text{[math]}$ ）²≤ $\text{[math]}$ p²≤p- $\text{[math]}$ p²，0≤p≤2，
2≤p≤4，0≤（cos²x- $\text{[math]}$ ）²≤ $\text{[math]}$ p²≤p- $\text{[math]}$ p²，p=2，
p的最小值为0．
故答案为：0．
点评：本题考查正弦函数的图象和性质，解题时要认真审题，仔细解答，注意三角函数的恒等变换．