Question

13．设f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f（x）满足f（-3）=0，且f'（x）g（x）+f（x）g'（x）＞0，则不等式f（x）g（x）＜0的解集是（　　）

• A． （-3，0）∪（3，+∞）
• B． （-3，0）∪（0，3）
• C． （-∞，0）∪（0，3）
• D． （-∞，-3）∪（3，+∞）

Answer 1

分析 构造函数h（x）=f（x）g（x），利用已知可判断出其奇偶性和单调性，进而即可得出不等式的解集．

解答 解：令h（x）=f（x）g（x），则h（-x）=f（-x）g（-x）=-f（x）g（x）=-h（x），因此函数h（x）在R上是奇函数．
①∵当x＜0时，h′（x）=f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，∴h（x）在x＜0时单调递增，
故函数h（x）在R上单调递增．
∵h（-3）=f（-3）g（-3）=0，∴h（x）=f（x）g（x）＜0=h（-3），∴x＜-3．
②当x＞0时，函数h（x）在R上是奇函数，可知：h（x）在（0，+∞）上单调递增，且h（3）=-h（-3）=0，
∴h（x）＜0，的解集为（0，3）．
∴不等式f（x）g（x）＜0的解集是（-∞，-3）∪（0，3）．
故选C．

点评 恰当构造函数，熟练掌握函数的奇偶性单调性是解题的关键．