Question

16．已知数列{a_n}满足a₁+3a₂+3²a₃+…+3^n-1a_n=$\frac{n}{3}$，n∈N₊．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设a_nb_n=n，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）利用递推关系即可得出．
（2）a_nb_n=n，b_n=n•3ⁿ．利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）∵数列{a_n}满足a₁+3a₂+3²a₃+…+3^n-1a_n=$\frac{n}{3}$，n∈N₊．
∴n=1时，a₁=$\frac{1}{3}$；n≥2时，a₁+3a₂+3²a₃+…+3^n-2•a_n-1=$\frac{n-1}{3}$．
可得3^n-1a_n=$\frac{1}{3}$，∴a_n=$\frac{1}{{3}^{n}}$．n=1时也成立．
∴a_n=$\frac{1}{{3}^{n}}$．
（2）a_nb_n=n，∴b_n=n•3ⁿ．
∴数列{b_n}的前n项和S_n=3+2×3²+3×3³+…+n•3ⁿ，
3S_n=3²+2×3³+…+（n-1）•3ⁿ+n•3ⁿ⁺¹，
∴-2S_n=3+3²+…+3ⁿ-n•3ⁿ⁺¹=$\frac{3（{3}^{n}-1）}{3-1}$-n•3ⁿ⁺¹，
解得S_n=$\frac{（2n-1）•{3}^{n+1}+3}{4}$．

点评 本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．