Question

6．已知定义域为R的函数$f（x）=\frac{{b-{2^x}}}{{a+{2^x}}}$是奇函数．
（1）求a，b的值；
（2）用定义证明f（x）在（-∞，+∞）上为减函数；
（3）若对于任意t∈R，不等式f（t²-2t）＜f（-2t²+k）恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）计算f（0）=0，求出b的值，根据f（-1）=-f（1），求出a的值，检验即可；
（2）根据函数单调性的定义证明即可；
（3）根据函数的单调性得到t²-2t＞k-2t²，结合二次函数的性质求出k的范围即可．

解答 解：（1）因为f（x）为R上的减函数，
所以f（0）=0，b=1．又f（-1）=-f（1），得a=1．
经检验a=1，b=1符合题意．
（2）任取x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=$\frac{1{-2}^{{x}_{1}}}{1{+2}^{{x}_{1}}}$-$\frac{1{-2}^{{x}_{2}}}{1{+2}^{{x}_{2}}}$=$\frac{2{（2}^{{x}_{2}}{-2}^{{x}_{1}}）}{（1{+2}^{{x}_{1}}）（1{+2}^{{x}_{2}}）}$，
因为x₁＜x₂，所以${2^{x_2}}-{2^{x_1}}＞0$．
又（2^x2+1）（2^x1+1）＞0，故f（x₁）-f（x₂）＞0，
所以f（x）为R上的减函数．
（3）因为t∈R，不等式f（t²-2t）＜f（-2t²+k）恒成立．
由f（x）为减函数，所以t²-2t＞k-2t²，
即k＜3t²-2t恒成立，
而y=3t²-2t=3${（t-\frac{1}{3}）}^{2}$-$\frac{1}{3}$≥-$\frac{1}{3}$，
所以k＜-$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了函数的单调性、奇偶性问题，考查函数恒成立问题以及转化思想，是一道中档题．