Question

已知等差数列{a_n}的前项和为S_n，且a₃=5，S₁₅=225．
（1）求数列{a_n}的通项a_n；
（2）设b_n=a_n+1-

n

2n-1

，求数列{b_n}的前项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）根据等差数列的通项公式、前n项和公式列出方程组，求出首项a₁、公差d，再求出通项a_n；
（Ⅱ）由（Ⅰ）先求出b_n，根据b_n的特点利用分组求和、错位相减法求出前项和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）设等差数列{a_n}首项为a₁，公差为d，
由题意得，

a1+2d=5 15a1+ 15×14 2 d=225

，解得

a1=1 d=2

                  
所以a_n=1+2（n-1）=2n-1； 
（II）由（I）知，b_n=a_n+1-

n

2n-1

=2n-

n

2n-1

，
所以T_n=2（1+2+…+n）-（

1

20

+

2

2

+

3

22

+…+

n

2n-1

），
设s=

1

20

+

2

2

+

3

22

+…+

n

2n-1

，①

1

2

s=

1

21

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

，②
①-②得，

1

2

s=1+

1

21

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n-1

-

n

2n

=1+

1 2 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

-

n

2n

=2-

n+2

2n

，则s=4-

n+2

2n-1

，
所以T_n=2×

n(n+1)

2

-(4-

n+2

2n-1

)=n(n+1)+

n+2

2n-1

-4．

点评：本题等差数列的通项公式、前n项和公式，以及数列求和方法：错位相减法和分组求和，属于中档题．