函数f(x)=$\frac{b}{|x|-a}$.因其图象类似于汉字“囧字.被称为“囧函数 .我们把函数f(x)的图象与y轴的交点关于原点的对称点称为函数f(x)的“囧点 .以函数f(x)的“囧点为圆心.与函数f(x)的图象有公共点的圆.皆称函数f(x)的“囧圆 .则当a=b=1时.有下列命题:①对任意x∈＞$\frac{1}{x}$成立,②存在x0� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

5．函数f（x）=$\frac{b}{|x|-a}$（a＞0，b＞0），因其图象类似于汉字“囧”字，被称为“囧函数”，我们把函数f（x）的图象与y轴的交点关于原点的对称点称为函数f（x）的“囧点”，以函数f（x）的“囧点”为圆心，与函数f（x）的图象有公共点的圆，皆称函数f（x）的“囧圆”，则当a=b=1时，有下列命题：
①对任意x∈（0，+∞），都有f（x）＞$\frac{1}{x}$成立；
②存在x₀∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$），使f（x₀）＜tanx₀成立；
③函数f（x）的“囧点”与函数y=lnx图象上的点的最短距离是$\sqrt{2}$；
④函数f（x）的所有“囧圆”中，其周长的最小值为2$\sqrt{3}$π．
其中的正确命题有②③④（写出所有正确命题的序号）．

分析利用特殊值法，研究函数的值域，单调性，和零点问题，以及导数的几何意义，利用数形结合的方法进行判断．

解答解：当a=1，b=1时，函数f（x）=$\frac{1}{|x|-1}$，
①当x=$\frac{1}{2}$时，f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{\frac{1}{2}-1}$=-2，$\frac{1}{\frac{1}{2}}$=2，故f（x）＞$\frac{1}{x}$不成立，故①不正确；
②当x₀=$\frac{π}{4}$时，f（$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{\frac{π}{4}-1}$＜0，tan$\frac{π}{4}$=1，故存在x₀∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$），使f（x₀）＜tanx₀成立，故②正确；
③则函数f（x）=$\frac{1}{|x|-1}$与y轴交于（0，-1）点，则“囧点”坐标为（0，1），
设y=lnx，
则y′=$\frac{1}{x}$，
设切点为（x₀，lnx₀），
∴切线的斜率k=$\frac{1}{{x}_{0}}$，
当“囧点”与切点的连线垂直切线时，距离最短，
∴$\frac{ln{x}_{0}-1}{{x}_{0}}$•$\frac{1}{{x}_{0}}$=-1，
解得x₀=1，
∴切点坐标为（1，0），
故函数f（x）的“囧点”与函数y=lnx图象上的点的最短距离是$\sqrt{（1-0）^{2}+（0-1）^{2}}$=$\sqrt{2}$，故③正确，
④令“囧圆”的标准方程为x²+（y-1）²=r²，
令“囧圆”与f（x）=$\frac{1}{|x|-1}$图象的左右两支相切，
则切点坐标为（$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$）、（-$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$）、此时r=$\sqrt{3}$；
令“囧圆”与f（x）=$\frac{1}{|x|-1}$图象的下支相切
则切点坐标为（0，-1）
此时r=2，
故函数f（x）的所有“囧圆”中，其周长的最小值为2$\sqrt{3}$π，故④正确，
综上所述：其中的正确命题有②③④，
故答案为：②③④