Question

15．（1）若函数f（x）=lnx+asin（1-x）在区间（0，1）上为增函数，求实数a的取值范围；
（2）证明：$\sum_{k=1}^{n}$sin$\frac{1}{（k+1）^{2}}$＜ln2．

Answer 1

分析 （1）方法一：函数f（x）在区间（0，1）上为增函数，只要f′（x）≥0在区间（0，1）上恒成立，利用常数分离法a≤$\frac{1}{xcos（1-x）}$，构造辅助函数，求导，根据函数的单调性即可求得实数a的取值范围；方法二：函数f（x）在区间（0，1）上为增函数，只要f′（x）≥0在区间（0，1）上恒成立，分类讨论，由a＜0恒成立，当a＞0，利用常数分离法$\frac{1}{a}$≥xcos（1-x），构造辅助函数，根据函数的单调性即可求得实数a的取值范围；
（2）这个证明题可以利用一个恒等式，sinx＜x，然后对$\sum_{k=1}^{n}$sin$\frac{1}{（k+1）^{2}}$，从第三项开始进行放缩，然后进行证明．

解答 解：（1）方法一：f（x）=lnx+asin（1-x），求导，f′（x）=$\frac{1}{x}$-acos（1-x），
由函数f（x）在区间（0，1）上为增函数，只要f′（x）≥0在区间（0，1）上恒成立，
∴$\frac{1}{x}$-acos（1-x）≥0，在区间（0，1）上恒成立，
∴a≤$\frac{1}{xcos（1-x）}$，
设h（x）=xcos（1-x），0＜1-x＜1，
∵h′（x）=cos（1-x）+xsin（1-x）＞0，
∴h（x）在（0，1）增函数，
∴h（x）＜h（1）=1，
∴a≤1，
实数a的取值范围（-∞，1]；
方法二：f（x）=lnx+asin（1-x），求导，f′（x）=$\frac{1}{x}$-acos（1-x），
由函数f（x）在区间（0，1）上为增函数，只要f′（x）≥0在区间（0，1）上恒成立，即$\frac{1}{x}$-acos（1-x）≥0，在区间（0，1）上恒成立，
当a≤0时，f′（x）≥0恒成立，
当a＞0时，$\frac{1}{a}$≥xcos（1-x），
设g（x）=xcos（1-x），显然g（x）在（0，1）单调递增，
则g（x）＜g（1）=1，
∴$\frac{1}{a}$≥1，即0＜a≤1．
综上可知：实数a的取值范围（-∞，1]；
（2）证明：由（1）可知：当a=1时，f（x）=lnx+sin（1-x）在区间（0，1）上为增函数，
∴f（x）=lnx+sin（1-x）＜f（1）=0，即sin（1-x）＜ln$\frac{1}{x}$，
令1-x=$\frac{1}{（k+1）^{2}}$，则x=$\frac{k（k+2）}{（k+1）^{2}}$，
于是sin$\frac{1}{（k+1）^{2}}$＜ln$\frac{（k+1）^{2}}{k（k+2）}$，
∴$\sum_{k=1}^{n}$sin$\frac{1}{（k+1）^{2}}$＜ln$\frac{{2}^{2}}{1×3}$+ln$\frac{{3}^{2}}{2×4}$+…+ln$\frac{（n+1）^{2}}{n（n+2）}$，
=（2ln2-ln3）+（2ln3-ln2-ln4）+…+[2ln（n+1）-lnx-ln（n+2）]，
=ln2+ln（n+1）-ln（n+2），
=ln2+ln$\frac{n+1}{n+2}$＜ln2，
∴$\sum_{k=1}^{n}$sin$\frac{1}{（k+1）^{2}}$＜ln2．

点评 本题考查导数的综合应用，常数分离法求参数的取值范围，考查放缩法求不等式，主要利用sinx＜x进行证明，对数的运算，此题难度比较大，计算量比较大，属于难题．