Question

18．已知点H（0，-8），点P在x轴上，动点F满足PF⊥PH，且PF与y轴交于点Q，Q为线段PF的中点．
（1）求动点F的轨迹E的方程；
（2）点D是直线l：x-y-2=0上任意一点，过点D作E的两条切线，切点分别为A、B，取线段AB的中点，连接DM交曲线E于点N，求证：直线AB过定点，并求出定点的坐标．

Answer 1

分析 （1）设F（x，y），用x，y表示出P点坐标，求出PF、PH的斜率，根据PF⊥PH列方程化简即可；
（2）设AB方程为y=kx+b，联立方程组得出A，B坐标的关系，利用导数的几何意义得出切线方程，从而求得D点坐标，得出k，b的关系，即可得出结论．

解答 解：（1）设F（x，y），∵Q是PF的中点，Q在y轴上，P在x轴上，
∴P（-x，0），又H（0，-8），∴k_PF=$\frac{y}{2x}$，k_PH=$\frac{8}{-x}$，
∵PF⊥PH，∴$\frac{y}{2x}•\frac{8}{-x}=-1$，即x²=4y．
∴动点F的轨迹E的方程x²=4y．
（2）证明：设直线AB的方程为y=kx+b，
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}=4y}\\{y=kx+b}\end{array}\right.$，消去y得：x²-4kx-4b=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=4k}\\{{x}_{1}{x}_{2}=-4b}\end{array}\right.$，且△=16k²+16b．
以点A为切点的切线的斜率为k_P=$\frac{1}{2}$x₁，其切线方程为y-y₁=$\frac{1}{2}$x₁（x-x₁），
即y=$\frac{1}{2}$x₁x-$\frac{1}{4}$x₁²，
同理过点Q的切线的方程为y=$\frac{1}{2}$x₂x-$\frac{1}{4}$x₂²，
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}{x}_{1}x-\frac{1}{4}{{x}_{1}}^{2}}\\{y=\frac{1}{2}{x}_{2}x-\frac{1}{4}{{x}_{2}}^{2}}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}=2k}\\{y=k{x}_{1}-{y}_{1}=-b}\end{array}\right.$，
即D（2k，-b），∵D在直线x-y-2=0上，
∴2k-（-b）-2=0，即b=2-2k，
所以直线AB的方程y=kx+2-2k，即y=k（x-2）+2，显然该直线恒过定点（2，2）．

点评 本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，着重考查直线方程与圆锥曲线方程的联立及韦达定理的应用，考查化归思想、方程思想与综合运算能力，属于中档题．