Question

9．对于任意实数，直线y=x+b与椭圆$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=4sinθ}\end{array}\right.$（0≤θ＜2π）恒有公共点，则b的取值范围是[-2$\sqrt{5}$，2$\sqrt{5}$]．

Answer 1

分析 求出椭圆的直角坐标方程，与直线y=x+b联立，得5x²+2bx+b²-16=0，由此利用根的判别式能求出b的取值范围．

解答 解：∵椭圆$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=4sinθ}\end{array}\right.$（0≤θ＜2π），∴椭圆的直角坐标方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{16}$=1，
把y=x+b代入$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{16}$=1，得5x²+2bx+b²-16=0
△=4b²-20（b²-16）≥0
解之得：-2$\sqrt{5}$≤b≤2$\sqrt{5}$．
∴b的取值范围是[-2$\sqrt{5}$，2$\sqrt{5}$]．
故答案为：[-2$\sqrt{5}$，2$\sqrt{5}$]．

点评 本题考查实数的取值范围的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．